线性代数考研笔记第二章高昆轮视频整理

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木来 木来

2.   特殊的几个矩阵:
1)零矩阵:每个元素都是0的矩阵,记为0
2)行向量:只有一行的矩阵被称为行矩阵,也叫行向量
3)列向量:只有一列的矩阵被称为列矩阵,也叫列向量
4)单位阵:主对角元素均为1,其他元素全为0的n阶方阵
5)数量阵:主对角元素均为K,其他元素全为0的n阶方阵
6)对角阵:主对角以外的元素全为0
7)上(下)三角阵:主对角以上(以下)元素全为0

3.   矩阵的数乘运算:数K乘每一个元素

4.   矩阵中,列向量乘行向量是一个方阵

5.   矩阵中,行向量乘列向量是一个数

6.   满足A的转置等于A的矩阵A为对称矩阵

7.   满足A的转置等于-A的矩阵A为反对称矩阵

8.   矩阵转置的性质:
1)(AT)T=A
2)(kA)T=kAT
3)(AB)T=BTAT
4)(A+B)T=AT+BT

9.   n阶矩阵A的元素构成的行列式称为方阵A的行列式,记为|A|

10. 方阵的行列式的性质:
1)|AT|=A
2)|kA|=kn|A|
3)|AB|=|A||B|

11. A*A=AA*=|A|E

12. 矩阵伴随的性质:
1)A*A=AA*=|A|E
2)(A*)*=|A|n-2A(n>=2)
3)(kA)*=kn-1A*
4)(AB)*=B*A*
5)|A*|=|A|n-1

13. 伴随矩阵的求法:
1)方法一:定义法:将代数余子式都求出来,然后拼成伴随矩阵
2)若|A|≠0(即A可逆),则A*= |A|A-1

14. 二阶伴随矩阵的快捷求法是主对调,副变号

15. 若AB=BA=E,则称A可逆,且B是A的逆矩阵,记为A-1=B

16. A可逆,则A的逆矩阵唯一

17. A可逆ó|A|≠0

18. 逆矩阵的性质:
1)(A-1)-1=A
2)(kA)-1=1/k * A-1
3)(AB)-1=B-1A-1
4)|A-1|=|A|-1

19. 逆矩阵的求法:
1)用定义:AB=E,则A-1=B
2)若|A|≠0,则A-1=A*/|A|,(A*)-1=A/|A|
3)用初等变换

20. 初等变换的三种形式:
1)用一个非零常数K乘矩阵A的某一行(列)
2)互换矩阵A的某两行(列)
3)将A的某行(列)K倍加到另外一行(列)

21. 初等矩阵都是可逆矩阵,且其逆矩阵仍是同一类型的初等矩阵

22. 两行(列)互换的初等矩阵的逆是它本身

23. 某行的K倍加到另外一行的初等矩阵的逆是它的-K倍加到那一行

24. A左乘(右乘)初等矩阵,相当于对A做一次同类型的初等行(列)变换

25. A经过有限次初等变换变到B,称A与B等价

26. A中非零子式的最高阶数称为A的秩,记为r(A)

27. 矩阵A的秩等于它对应的行阶梯矩阵非零行的行数

28. 秩的性质:
1)r(A)=r(AT)
2)r(kA)=r(A),k≠0
3)r(Am*n)<=min{m,n}
4)A可逆,则r(AB)=r(B)
5)Am*nBn*m=0,则r(A)+r(B)<=n
6)r(A)=r(AT)


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