线性代数考研笔记第三章整理

线性代数考研笔记第三章整理

木来 木来

 

1.   齐次线性方程有解的条件:
1)Am*nx=0只有零解ór(Am*n)=n(n为未知数的个数,也是A的列数)
2)Am*nx=0有非零解ór(Am*n)<n(n为未知数的个数,也是A的列数)
3)如果m<n即方程少,未知数多,则Am*n=0一定有非零解
4)若Am*nx=0有非零解,则其线性无关的解有n-r(A)个

2.   非齐次线性方程组有解的条件:
1)Am*nx=b无解ór(A)≠r(A|b)
2)Am*nx=b有唯一解ór(A)=r(A|b)=n
3)Am*nx=b有无数个解ór(A)=r(A|b)<n

3.   克拉默法则:
n个方程n个未知数的方程组Ax=b的系数矩阵的行列式如果不等于0,则方程组有唯一解,且xi=|Ai|/|A|

4.   对n个方程n个未知数的齐次方程组Ax=0,如果系数矩阵|A|≠0,则有唯一解零解。如果系数矩阵|A|=0,则有非零解。

5.   若主对角线为a,其余全为b,则|A|的行列式的值为
(a+(n-1)b)(a-b)n-1

6.   若a是Ax=0的解,也是Bx=0的解,则称a为Ax=0与Bx=0的公共解

7.   求公共解的方法:
1)若Ax=0,Bx=0均具体给出,则为了求公共解a,可以让A与B联立,拼在一起称为一个大的矩阵,这样求出来的解就是公共解。
2)Ax=0具体给出,但是Bx=0给了基础解析b1,b2,求公共解a。
做法:将l1b1+l2b2带入到方程组Ax=0中,定出l1与l2的关系
3)给出了Ax=0Bx=0的基础解析,求公共解a
做法:令基础解系相等,求未知数k1,k2,l1,l2,然后找未知数的关系。【不太懂】

8.   Ax=0的解是Bx=0的解,且Bx=0的解也是Ax=0的解,称Ax=0与Bx=0是同解

9.   Ax=0与Bx=0是同解=>r(A)=r(B)

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